1)В треугольнике MKP медиана MC равна половине стороны KP. Найдите угол М треугольника MKP.
2)Докажите равенство треугольников по двум сторонам и медиане,проведённой к одной из них.
3)Расстояние от центра О окружности до хорды CD равно 9 см. Угол OCD равен 45 градусов. Найдите длину отрезка CD.
4)Расстояние от центра О окружности до хорды CD равно 9 см. Угол OCD равен 45 градусов.Точка К принадлежит хорде CD,причем CK=3KD.Найдите длину отрезка СК.

1) В треугольнике MKP медиана MC равна половине стороны KP. Найдите угол М треугольника MKP.

В данном треугольнике MKP медиана MC делит сторону KP пополам, то есть $KM = MP$. Это условие указывает на то, что треугольник MKP является равнобедренным. Чтобы найти угол $\angle M$, рассмотрим свойства медианы.

• Так как медиана делит сторону пополам и делит угол при вершине пополам в равнобедренном треугольнике, можно рассматривать треугольник MKP как равнобедренный, с углами при вершине, которые равны.
• В равнобедренном треугольнике сумма углов составляет $180^\circ$, и угол у вершины (угол $\angle M$) можно вычислить, если мы учтем, что медиана делит его пополам. При условии, что медиана равна половине стороны, угол $\angle M$ в данном случае будет равен $90^\circ$.

Ответ: угол $M = 90^\circ$.

2) Докажите равенство треугольников по двум сторонам и медиане, проведённой к одной из них.

Для доказательства равенства треугольников по двум сторонам и медиане, проведённой к одной из них, воспользуемся следующим рассуждением:

Предположим, что у нас есть два треугольника $\triangle ABC$ и $\triangle A'B'C'$, в которых выполнены следующие условия:

• Стороны $AB = A'B'$,
• Стороны $AC = A'C'$,
• Медиана $CM = C'M'$, проведенная из вершины $C$ (или $C'$) в сторону стороны $AB$ (или $A'B'$).

Теперь докажем, что эти два треугольника равны:

1. Медиана делит сторону пополам. Поскольку медианы равны, они делят стороны пополам.
2. Равенство сторон и медианы позволяет применять теорему о равенстве треугольников по двум сторонам и медиане (или теорему о равенстве треугольников по двум сторонам и углу между ними).

Итак, треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle A'B'C'$ равны по двум сторонам и медиане.

Ответ: $\triangle ABC \cong \triangle A'B'C'$.

3) Расстояние от центра О окружности до хорды CD равно 9 см. Угол $\angle OCD = 45^\circ$. Найдите длину отрезка CD.

Для нахождения длины хорды CD воспользуемся следующим методом:

1. Пусть центр окружности $O$ и радиус окружности $R$.
2. Расстояние от центра окружности до хорды CD равно 9 см. Это расстояние — перпендикуляр, опущенный из центра окружности на хорду, обозначим его $OM = 9$, где точка $M$ — это точка пересечения перпендикуляра с хордами.
3. Так как угол $\angle OCD = 45^\circ$, то в прямоугольном треугольнике $OMC$ можно применить тригонометрию.
4. Из прямоугольного треугольника можно найти длину половины хорды CD с помощью формулы: $$CM = OM \cdot \tan(45^\circ) = 9 \cdot 1 = 9 \, \text{см}.$$
5. Так как $CM$ — это половина длины хорды, длина хорды CD будет равна $2 \times 9 = 18 \, \text{см}$.

Ответ: длина хорды CD равна 18 см.

4) Расстояние от центра О окружности до хорды CD равно 9 см. Угол $\angle OCD = 45^\circ$. Точка К принадлежит хорде CD, причём $CK = 3KD$. Найдите длину отрезка СК.

1. Мы знаем, что $CK = 3KD$, то есть точка $K$ делит хорду CD в отношении 3:1. Следовательно, длина отрезка $KD$ составляет $\frac{1}{4}$ длины хорды, а длина отрезка $CK$ — $\frac{3}{4}$ длины хорды.
2. Мы уже нашли, что длина хорды CD равна 18 см.
3. Следовательно, длина отрезка $CK$ равна: $$CK = \frac{3}{4} \times 18 = 13.5 \, \text{см}.$$

Ответ: длина отрезка $CK$ равна 13.5 см.