Боковая сторона равнобедренного треугольника делится точкой касания вписанной окружности в отношении 3:8, считая от вершины угла при основании треугольника. Найдите основание треугольника, если его периметр равен 56 см.

Пусть основание равнобедренного треугольника равно $x$, а боковая сторона — $a$.

Периметр равен 56 см, значит полупериметр:

Теперь используем свойство вписанной окружности:
если окружность касается стороны треугольника, то отрезки, на которые она делит сторону, выражаются через полупериметр.

Для боковой стороны получаем:

• от вершины угла при основании до точки касания отрезок равен $p-a$,

• от вершины при вершине треугольника до точки касания отрезок равен $p-x$.

По условию боковая сторона делится в отношении $3:8$, считая от вершины угла при основании. Значит:

Подставим $p=28$:

Пусть тогда

Но вся боковая сторона равна сумме этих двух отрезков:

Подставим в первое уравнение:

Тогда

Значит, основание треугольника равно 12 см.