В правильном тетраэдре DABC с ребром a, точка O - центр треугольника ABC. Постройте вектор 1/2DC - 1/2DB и найдите его длину.
Так правильно: 1/2BC = а/2?

Давайте разберемся подробно с этим вопросом. Мы рассмотрим тетраэдр DABC, где все ребра равны $a$, и точка $O$ — центр треугольника $ABC$. Вопрос состоит из двух частей: построение вектора $\frac{1}{2} \overrightarrow{DC} - \frac{1}{2} \overrightarrow{DB}$ и вычисление его длины. Проверим также, правильно ли утверждение $\frac{1}{2} \overrightarrow{BC} = \frac{a}{2}$.

Построение вектора

1. Обозначим точки и векторы:

   • Точки $D$, $A$, $B$, $C$ находятся в вершинах правильного тетраэдра.
   • Вектор $\overrightarrow{DC}$ соединяет вершину $D$ с вершиной $C$, а вектор $\overrightarrow{DB}$ соединяет вершину $D$ с вершиной $B$.

2. Разделим каждый вектор пополам:

   • $\frac{1}{2} \overrightarrow{DC}$ — это вектор, который направлен от $D$ в сторону $C$, но его длина равна половине длины $\overrightarrow{DC}$, то есть $\frac{a}{2}$.
   • $\frac{1}{2} \overrightarrow{DB}$ — аналогично, это половина вектора $\overrightarrow{DB}$.

3. Вычитаем векторы:

   • Чтобы найти $\frac{1}{2} \overrightarrow{DC} - \frac{1}{2} \overrightarrow{DB}$, нужно понять, что это равно половине разности $\overrightarrow{DC} - \overrightarrow{DB}$. Фактически, это вектор, направленный из середины отрезка $DB$ в середину отрезка $DC$.

Вычисление длины вектора

1. Найдем выражение для разности векторов:

   • Поскольку $\overrightarrow{DC} - \overrightarrow{DB} = \overrightarrow{BC}$, то $$\frac{1}{2} \overrightarrow{DC} - \frac{1}{2} \overrightarrow{DB} = \frac{1}{2} \overrightarrow{BC}.$$

2. Вычислим длину $\overrightarrow{BC}$:

   • В правильном тетраэдре длина $\overrightarrow{BC}$ равна длине ребра $a$, так как $B$ и $C$ — соседние вершины треугольника $ABC$.

3. Умножим длину на $\frac{1}{2}$:

   • Длина $\frac{1}{2} \overrightarrow{BC}$ равна $\frac{a}{2}$.

Проверка утверждения $\frac{1}{2} \overrightarrow{BC} = \frac{a}{2}$