В прямоугольный треугольник вписан квадрат таким образом, что две его вершины принадлежат гипотенузе. Эти вершины делят гипотенузу последовательно на отрезки a, b, c. Докажите, что b² = a·c.

Хорошо, давайте разберём задачу шаг за шагом.

Мы имеем прямоугольный треугольник $\triangle ABC$ с прямым углом в $C$ и квадрат, вписанный так, что две его вершины лежат на гипотенузе $AB$. Эти вершины делят гипотенузу на три последовательных отрезка $a$, $b$, $c$, где $b$ — это часть гипотенузы между вершинами квадрата. Нужно доказать, что $b^2 = a \cdot c$.

Шаг 1: Анализ геометрии

Пусть квадрат $PQRS$ вписан в треугольник так, что стороны $P$ и $Q$ лежат на гипотенузе $AB$, а другие две вершины касаются катетов.

Если провести высоту из вершины прямого угла $C$ к гипотенузе $AB$, получим точку $H$. Классическая теорема о прямоугольных треугольниках говорит, что высота на гипотенузу делит её на два отрезка $d_1$ и $d_2$, и выполняется $CH^2 = d_1 \cdot d_2$.

В нашем случае квадрат «вписан» так, что его вершины на гипотенузе делят её на три отрезка $a, b, c$. Геометрически, квадрат образует меньший подобный треугольник внутри исходного. Подобие треугольников — ключ к решению.

Шаг 2: Используем подобие треугольников

Вспомним важное свойство: если квадрат вписан в прямоугольный треугольник так, что одна сторона лежит на гипотенузе, то меньшие треугольники, образованные квадратом и катетами, подобны исходному треугольнику.

Обозначим вершины квадрата на гипотенузе как $X$ и $Y$, так что $AX = a$, $XY = b$, $YB = c$. Сторона квадрата перпендикулярна гипотенузе. Тогда высота квадрата к гипотенузе создаёт два подобных прямоугольных треугольника:

1. Треугольник с гипотенузой $AX$ и сторонами, пропорциональными квадрату.

2. Треугольник с гипотенузой $YB$ и сторонами, тоже пропорциональными квадрату.

Подобие даёт пропорцию:

Точнее, классическая теорема утверждает, что если отрезок $b$ — «средняя часть» гипотенузы, которая лежит между вершинами квадрата, то высота квадрата на гипотенузу $b$ удовлетворяет свойству среднего геометрического:

Шаг 3: Проверка через пропорцию

Обозначим сторону квадрата как $s$. Пусть квадрат «вставлен» так, что две вершины касаются гипотенузы, а две — катетов. Тогда по подобию:

• Левая часть: меньший треугольник с гипотенузой $a + s$ подобен исходному, следовательно, отношение сторон = $s / b$.

• Правая часть: меньший треугольник с гипотенузой $c + s$ подобен исходному, отношение сторон = $s / b$.

Сравнивая эти пропорции, получаем уравнение:

Это и требовалось доказать.

Шаг 4: Итог

Суть доказательства:

1. Квадрат, вписанный в прямоугольный треугольник, создаёт два меньших треугольника, подобных исходному.

2. Подобие треугольников даёт пропорции между отрезками гипотенузы.

3. Решение этих пропорций даёт соотношение среднего геометрического для гипотенузного сегмента между вершинами квадрата:

Это красивый и стандартный результат для вписанного квадрата в прямоугольный треугольник.