В прямом параллелепипеде стороны основания равны 4 и 6, угол между ними составляет 60 градусов.

Ответы на вопрос

Отвечает Куликов Артем.

Давай разберём задачу пошагово, как будто решаем её на черновике.

Дано:

Прямой параллелепипед с основанием, стороны которого $a = 4$ и $b = 6$ .
Угол между сторонами основания $\alpha = 60^\circ$ .
Большая диагональ $d$ образует с плоскостью основания угол $45^\circ$ .

Найти: объём $V$ .

Шаг 1. Найдём диагональ основания

Площадь основания и длина диагонали основаны на формулах для параллелограмма.
В прямоугольном параллелепипеде с непрямым (наклонным) основанием диагональ основания вычисляется по закону косинусов:

d_{\text{осн}}^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos(180^\circ - \alpha)

Так как $\cos(180^\circ - \alpha) = -\cos\alpha$ , получаем:

d_{\text{осн}}^2 = a^2 + b^2 - 2ab(-\cos\alpha) = a^2 + b^2 + 2ab\cos\alpha

Подставим значения:

a = 4, \quad b = 6, \quad \cos 60^\circ = 0.5

d_{\text{осн}}^2 = 4^2 + 6^2 + 2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot 0.5 = 16 + 36 + 24 = 76

Следовательно,

d_{\text{осн}} = \sqrt{76} = 2\sqrt{19}

Шаг 2. Связь большой диагонали с высотой

Пусть высота параллелепипеда равна $h$ . Большая диагональ $D$ прямого параллелепипеда (со всеми вершинами в пространстве) выражается через диагональ основания $d_{\text{осн}}$ и высоту $h$ :

D = \sqrt{d_{\text{осн}}^2 + h^2}

По условию, угол между большой диагональю и плоскостью основания равен $45^\circ$ . Тогда:

\tan 45^\circ = \frac{h}{d_{\text{осн}}} \implies h = d_{\text{осн}}

h = 2\sqrt{19}

Шаг 3. Найдём площадь основания

Площадь параллелограмма (основания) с углом $\alpha$ между сторонами $a$ и $b$ вычисляется как:

S_{\text{осн}} = a \cdot b \cdot \sin \alpha

Подставим:

S_{\text{осн}} = 4 \cdot 6 \cdot \sin 60^\circ = 24 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 12 \sqrt{3}

Шаг 4. Вычислим объём

Объём $V$ прямого параллелепипеда:

V = S_{\text{осн}} \cdot h = 12 \sqrt{3} \cdot 2 \sqrt{19} = 24 \sqrt{57}

✅ Ответ:

\boxed{24 \sqrt{57}}

Ответы на вопрос

Шаг 1. Найдём диагональ основания

Шаг 2. Связь большой диагонали с высотой

Шаг 3. Найдём площадь основания

Шаг 4. Вычислим объём

✅ Ответ:

Похожие вопросы

Топ вопросов за вчера в категории Геометрия

Последние заданные вопросы в категории Геометрия