дан равнобедренный прямоугольный треугольник квадрат со стороной 5 см построен так что две его вершины лежат к гипотенузе а две другие на катетах данного треугольника. Найдите гипотенузу. ​

Чтобы найти гипотенузу прямоугольного равнобедренного треугольника, нужно разобраться, как расположен квадрат относительно треугольника и какие условия выполняются.

1. Исходные данные:

   • Прямоугольный равнобедренный треугольник. Его катеты равны по длине, обозначим их как $a$.
   • Гипотенуза равна $a\sqrt{2}$ (по теореме Пифагора).
   • Квадрат со стороной $5$ см вписан так, что две вершины лежат на катетах, а две — на гипотенузе.

2. Положение квадрата:

   • Если квадрат одной стороной касается гипотенузы, а вершины располагаются на катетах, это задаёт геометрическое ограничение. Расстояние от гипотенузы до катетов треугольника через вершины квадрата определяет положение этого квадрата.

3. Параметры квадрата и треугольника:

   • Пусть вершины квадрата, лежащие на гипотенузе, обозначим $A$ и $B$, а вершины на катетах — $C$ и $D$.
   • Расстояния от точек $C$ и $D$ до гипотенузы совпадают (высота квадрата перпендикулярна гипотенузе).

4. Расчёт гипотенузы:

   • Поскольку квадрат вписывается в треугольник, его сторона $s = 5$ связана с длиной катетов $a$. Для прямоугольного равнобедренного треугольника:

     $$h = \frac{a}{\sqrt{2}}$$

     где $h$ — высота от катетов к гипотенузе.

   • Высота квадрата равна стороне квадрата, поэтому из геометрических соотношений:

     $$5 = \frac{a}{\sqrt{2}}$$

     Отсюда находим $a$:

     $$a = 5\sqrt{2}$$

   • Теперь найдём гипотенузу:

     $$c = a\sqrt{2} = 5\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 10$$

5. Ответ: Гипотенуза равна $10$ см.