В прямом параллелепипеде стороны основания равны 6см и 8см, а один из углов основания равен 120°. Высота призмы равна 10 см. Выполните рисунок по условию задачи. а) Найдите меньшую диагональ параллелепипеда .

b) Вычислите площадь полной поверхности параллелепипеда.

​

Решение задачи

Условие задачи:

• В основании прямого параллелепипеда лежит параллелограмм со сторонами $6$ см и $8$ см, угол между сторонами равен $120^\circ$.
• Высота параллелепипеда равна $10$ см.

Необходимо:

1. Найти меньшую диагональ параллелепипеда.
2. Вычислить площадь полной поверхности параллелепипеда.

1. Найдём меньшую диагональ параллелепипеда

Диагонали параллелепипеда состоят из диагонали его основания и высоты. Для нахождения меньшей диагонали нам нужно сначала найти диагональ основания.

Так как основание – это параллелограмм с известными сторонами и углом, для нахождения его диагонали воспользуемся формулой:

где:

• $a = 6$ см и $b = 8$ см – длины сторон основания,
• $\theta = 120^\circ$ – угол между сторонами основания.

Подставим значения:

Подставляем и считаем:

Это диагональ основания параллелепипеда.

Теперь найдём диагональ параллелепипеда, которая соединяет вершины, находящиеся на противоположных углах основания и верхнего основания. Для этого используем теорему Пифагора, так как диагональ параллелепипеда будет гипотенузой треугольника, где стороны – диагональ основания и высота параллелепипеда:

где $h = 10$ см – высота параллелепипеда.

Подставляем значения:

Итак, меньшая диагональ параллелепипеда равна $12.17$ см, так как это диагональ основания.

2. Найдём площадь полной поверхности параллелепипеда

Площадь полной поверхности параллелепипеда равна сумме площадей всех его граней. Поскольку параллелепипед прямой, его боковые грани являются прямоугольниками со сторонами, равными длине стороны основания и высоте параллелепипеда. Также у нас есть две грани, представляющие собой основания.

1. Площадь одного основания: Для параллелограмма площадь выражается как:

   $$S_{\text{основания}} = a \cdot b \cdot \sin \theta$$

   Подставим значения:

   $$S_{\text{основания}} = 6 \cdot 8 \cdot \sin 120^\circ$$ $$\sin 120^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.866$$ $$S_{\text{основания}} = 6 \cdot 8 \cdot 0.866 \approx 41.57 \text{ см}^2$$

   Площадь двух оснований:

   $$S_{\text{двух оснований}} = 2 \cdot 41.57 \approx 83.14 \text{ см}^2$$

2. Площадь боковых граней: Каждая боковая грань – это прямоугольник с одной стороной, равной высоте, и другой стороной, равной стороне основания.

   Для боковых граней получаем:

   $$S_{\text{боковые}} = 2 \cdot (a \cdot h + b \cdot h)$$

   Подставим значения:

   $$S_{\text{боковые}} = 2 \cdot (6 \cdot 10 + 8 \cdot 10) = 2 \cdot (60 + 80) = 2 \cdot 140 = 280 \text{ см}^2$$

3. Общая площадь полной поверхности:

   $$S_{\text{полной поверхности}} = S_{\text{двух оснований}} + S_{\text{боковые}}$$

   Подставляем значения:

   $$S_{\text{полной поверхности}} = 83.14 + 280 = 363.14 \text{ см}^2$$

Ответ:

• Меньшая диагональ параллелепипеда составляет примерно $12.17$ см.
• Площадь полной поверхности параллелепипеда составляет примерно $363.14$ см².