В прямоугольном параллелепипеде стороны основания равны 12см и 5см . Диагональ параллелепипеда образует с плоскостью основания угол в 45 (градусов) . Найжите боковое ребро параллелепипеда .

Для того чтобы найти боковое ребро прямоугольного параллелепипеда, нам нужно использовать геометрические свойства этого объекта.

1. Дано:

   • Стороны основания параллелепипеда: $a = 12 \, \text{см}$ и $b = 5 \, \text{см}$.
   • Диагональ параллелепипеда образует угол в $45^\circ$ с плоскостью основания.

2. Что требуется найти:

   • Боковое ребро параллелепипеда, то есть высоту $h$.

3. Обозначения:

   • Пусть диагональ основания параллелепипеда обозначена как $d_{\text{осн}}$.
   • Боковое ребро — это высота $h$.

4. Шаг 1: Находим диагональ основания. Диагональ основания прямоугольного параллелепипеда можно найти по теореме Пифагора:

   $$d_{\text{осн}} = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13 \, \text{см}.$$

5. Шаг 2: Используем угол между диагональю и плоскостью основания. Угол между диагональю параллелепипеда и плоскостью основания равен $45^\circ$. Эта диагональ является гипотенузой прямоугольного треугольника, в котором одна из катетов — это диагональ основания, а другой катет — это боковое ребро $h$.

   Поскольку угол между диагональю и основанием $45^\circ$, мы можем использовать тригонометрическое соотношение:

   $$\cos(45^\circ) = \frac{d_{\text{осн}}}{\sqrt{d_{\text{осн}}^2 + h^2}}.$$

   Подставляем значение для $\cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $d_{\text{осн}} = 13 \, \text{см}$:

   $$\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{13}{\sqrt{13^2 + h^2}}.$$

6. Шаг 3: Решаем уравнение. Умножаем обе части уравнения на $\sqrt{13^2 + h^2}$ и на 2:

   $$\sqrt{2} \cdot \sqrt{13^2 + h^2} = 26.$$

   Делим обе части на $\sqrt{2}$:

   $$\sqrt{13^2 + h^2} = \frac{26}{\sqrt{2}} = 13\sqrt{2}.$$

   Возводим обе стороны в квадрат:

   $$13^2 + h^2 = (13\sqrt{2})^2.$$ $$169 + h^2 = 2 \cdot 169 = 338.$$

   Вычитаем 169 из обеих частей:

   $$h^2 = 338 - 169 = 169.$$

   Отсюда $h = 13 \, \text{см}$.

7. Ответ: Боковое ребро параллелепипеда равно 13 см.