Стороны основания прямого параллелепипеда равны 7 см и 3√2 см, а острый угол основания равен 45

Ответы на вопрос

Отвечает Рыжкова Алёна.

Дан прямой параллелепипед (то есть боковые ребра перпендикулярны плоскости основания). Основание — параллелограмм со сторонами
$a=7$ см и $b=3\sqrt2$ см, острый угол между ними $45^\circ$ .

1) Площадь основания

Площадь параллелограмма:

S = ab\sin 45^\circ

Подставим:

S = 7\cdot 3\sqrt2 \cdot \frac{\sqrt2}{2}

Так как $\sqrt2\cdot \sqrt2 = 2$ , получаем:

S = 7\cdot 3 \cdot \frac{2}{2} = 21

Значит,

S = 21\ \text{см}^2

2) Диагонали основания

У параллелограмма диагонали выражаются так:

d_{1}^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos\theta,\qquad d_{2}^{2}=a^{2}+b^{2}+2ab\cos\theta

При остром угле $\theta$ меньшая диагональ соответствует формуле со знаком «минус».

Считаем нужные величины:

a^2=49,\qquad b^2=(3\sqrt2)^2=18,\qquad a^2+b^2=67

ab=7\cdot 3\sqrt2=21\sqrt2,\qquad \cos 45^\circ=\frac{\sqrt2}{2}

2ab\cos 45^\circ = 2\cdot 21\sqrt2 \cdot \frac{\sqrt2}{2} = 21\cdot (\sqrt2\cdot \sqrt2)=21\cdot 2=42

Тогда меньшая диагональ основания:

d_{\min}^2 = 67-42 = 25 \Rightarrow d_{\min}=5\ \text{см}

3) Связь диагонали параллелепипеда с высотой

Меньшая пространственная диагональ прямого параллелепипеда проецируется на плоскость основания в меньшую диагональ основания $d_{\min}$ .

Если пространственная диагональ образует с плоскостью основания угол $45^\circ$ , то в прямоугольном треугольнике (высота $h$ , проекция $d_{\min}$ , диагональ как гипотенуза) верно:

\tan 45^\circ = \frac{h}{d_{\min}}

А $\tan 45^\circ = 1$ , значит:

h = d_{\min} = 5\ \text{см}

4) Объем

V = S\cdot h = 21\cdot 5 = 105

Ответ: $\boxed{105\$

Ответы на вопрос

1) Площадь основания

2) Диагонали основания

3) Связь диагонали параллелепипеда с высотой

4) Объем

Похожие вопросы

Топ вопросов за вчера в категории Геометрия

Последние заданные вопросы в категории Геометрия