11.11. В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF стороны основания равны 2 см, высота 4 см. Найдите расстояние от точки А до плоскости SBC.
(Расстояние находить по формуле и путём введения координатной системы.)

Решим задачу методом координат.

Правильный шестиугольник со стороной \(a = 2\) см. Расположим основание в плоскости \(Oxy\) с центром в начале координат. Вершины: \(A(2;0;0)\), \(B(1;\sqrt{3};0)\), \(C(-1;\sqrt{3};0)\), \(D(-2;0;0)\), \(E(-1;-\sqrt{3};0)\), \(F(1;-\sqrt{3};0)\). Вершина пирамиды \(S(0;0;4)\) (высота 4 см).

Плоскость \(SBC\) проходит через точки \(S(0;0;4)\), \(B(1;\sqrt{3};0)\), \(C(-1;\sqrt{3};0)\). Найдём её уравнение. Векторы \(\overrightarrow{SB} = (1; \sqrt{3}; -4)\) и \(\overrightarrow{SC} = (-1; \sqrt{3}; -4)\). Нормальный вектор \(\vec{n} = \overrightarrow{SB} \times \overrightarrow{SC}\).

\[\vec{n} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & \sqrt{3} & -4 \\ -1 & \sqrt{3} & -4 \end{vmatrix} = \vec{i}(\sqrt{3}\cdot(-4) - (-4)\cdot\sqrt{3}) - \vec{j}(1\cdot(-4) - (-4)\cdot(-1)) + \vec{k}(1\cdot\sqrt{3} - \sqrt{3}\cdot(-1)) = 0\vec{i} + 8\vec{j} + 2\sqrt{3}\vec{k} = (0; 8; 2\sqrt{3}).\]

Упростим, разделив на 2: \(\vec{n} = (0; 4; \sqrt{3})\). Уравнение плоскости: \(0\cdot(x-0) + 4(y-0) + \sqrt{3}(z-4) = 0\), то есть \(4y + \sqrt{3}z - 4\sqrt{3} = 0\).

Расстояние от точки \(A(2;0;0)\) до плоскости: \(d = \frac{|4\cdot 0 + \sqrt{3}\cdot 0 - 4\sqrt{3}|}{\sqrt{4^2 + (\sqrt{3})^2}} = \frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{16+3}} = \frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{19}} = \frac{4\sqrt{57}}{19}\) см.

Ответ: \(\frac{4\sqrt{57}}{19}\) см.

0 0 Пожаловаться