В ромб ABCD вписана окружность. Точка касания окружности G делит сторону ромба AB на отрезки AG и GB так, что AG : GB = 1 : 4. Найдите сторону ромба, если радиус вписанной окружности равен 4 см.

Обозначим \( AG = x \), тогда \( GB = 4x \), и сторона ромба \( AB = 5x \).

Центр вписанной окружности \( O \) — точка пересечения диагоналей ромба. Радиус \( r = 4 \) см, поэтому расстояние от \( O \) до стороны \( AB \) равно \( OG = 4 \).

Из прямоугольного треугольника \( AGO \) (\( OG \perp AB \)): \( AO = \sqrt{AG^2 + OG^2} = \sqrt{x^2 + 16} \).

Из треугольника \( BGO \): \( BO = \sqrt{GB^2 + OG^2} = \sqrt{(4x)^2 + 16} = \sqrt{16x^2 + 16} = 4\sqrt{x^2 + 1} \).

Диагонали ромба перпендикулярны, поэтому \( \angle AOB = 90^\circ \). По теореме Пифагора для \( \triangle AOB \):
\( AO^2 + BO^2 = AB^2 \).

Подставляем:
\( (x^2 + 16) + (16x^2 + 16) = (5x)^2 \)
\( 17x^2 + 32 = 25x^2 \)
\( 8x^2 = 32 \)
\( x^2 = 4 \)
\( x = 2 \) (положительное значение).

Тогда сторона ромба \( AB = 5x = 5 \cdot 2 = 10 \) см.

Ответ: 10 см.

0 0 Пожаловаться