Правильная четырёхугольная пирамида имеет боковое ребро длины 6√3.

Найдите наибольшее возможное значение объёма этой пирамиды.

Пусть сторона основания равна \( a \), высота пирамиды — \( h \), боковое ребро — \( 6\sqrt{3} \).

В правильной четырёхугольной пирамиде вершина находится над центром квадрата. Расстояние от центра основания до вершины квадрата равно \( \frac{a}{\sqrt{2}} \). Поэтому:

\[h^2+\frac{a^2}{2}=(6\sqrt{3})^2=108\]

Объём:

\[V=\frac{1}{3}a^2h\]

Обозначим \( x=a^2 \). Тогда:

\[h=\sqrt{108-\frac{x}{2}}\]

Нужно найти максимум функции:

\[V=\frac{1}{3}x\sqrt{108-\frac{x}{2}}\]

Максимум получается при \( x=144 \), то есть \( a^2=144 \). Тогда:

\[h=\sqrt{108-72}=6\]

\[V=\frac{1}{3}\cdot144\cdot6=288\]

Ответ: \( 288 \).

0 0 Пожаловаться