Дана правильная треугольная пирамида со стороной основания 4 корень из 3. Боковое ребро пирамиды наклонено к плоскости основания под углом 30 градусов. Найдите объем пирамиды?

Давайте разберём задачу и найдем объем правильной треугольной пирамиды.

Шаг 1: Разберём условия задачи

1. Основание пирамиды — правильный треугольник со стороной $a = 4\sqrt{3}$.
2. Боковое ребро пирамиды наклонено к плоскости основания под углом $\alpha = 30^\circ$.

Чтобы найти объем пирамиды, нам потребуется:

• площадь основания ($S_{\text{осн}}$),
• высота пирамиды ($h$).

Формула объема пирамиды:

Шаг 2: Найдём площадь основания

Основание — правильный треугольник. Площадь правильного треугольника со стороной $a$ находится по формуле:

Подставим $a = 4\sqrt{3}$:

Шаг 3: Найдём высоту пирамиды

Боковое ребро пирамиды наклонено под углом $\alpha = 30^\circ$ к основанию. Вспомним, что боковое ребро соединяет вершину пирамиды с одним из углов основания. Если обозначить длину бокового ребра как $b$, то высота пирамиды $h$ будет проекцией $b$ на перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на основание. Это значит:

Для правильной треугольной пирамиды боковые рёбра равны, и их длину можно найти с помощью высоты основания. Высота основания $h_{\text{осн}}$ правильного треугольника выражается через сторону $a$ как:

С учётом геометрии, боковое ребро $b$ — гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами $h_{\text{осн}}$ и высотой $h$. Так как угол наклона $\alpha = 30^\circ$, можно выразить $b$ через $h_{\text{осн}}$ и использовать соотношение:

Теперь подставим $b = 4\sqrt{3}$ и $\alpha = 30^\circ$ в формулу для высоты $h$:

Шаг 4: Найдём объем пирамиды

Подставим найденные значения в формулу объема: