Вершина параллелограмма равноудалена от середин двух его сторон. Докажите, что
этот параллелограмм – ромб

Ваш вопрос связан с геометрическими свойствами параллелограмма и требует доказательства того, что если вершина параллелограмма равноудалена от середин двух его сторон, то этот параллелограмм является ромбом.

Для доказательства этого утверждения мы можем использовать свойства параллелограмма, свойства биссектрис углов и свойства равносторонних треугольников. Возьмем параллелограмм ABCD, где точки M и N - середины сторон AB и CD соответственно. Пусть вершина A равноудалена от точек M и N, то есть AM = AN.

1. Так как M и N являются серединами сторон AB и CD параллелограмма ABCD, то MN - средняя линия, и следовательно MN || BC и MN = ½BC по свойствам средней линии треугольника.

2. Рассмотрим треугольники AMN и BMC. Они подобны по двум углам (угол A общий, а углы при вершинах M и B равны, так как MN || BC). Из подобия следует, что углы MAN и MBC равны. Так как AM = AN, то углы MAB и NAD также равны.

3. Таким образом, углы MAB и NAD равны, что делает AB и AD равными по свойству равнобедренного треугольника (AM и AN – биссектрисы соответствующих углов).

4. Аналогично можно показать, что BC = CD, используя равенство расстояний от вершины C до середин сторон AB и CD.

5. Из равенства сторон AB = AD и BC = CD следует, что все четыре стороны параллелограмма равны, что по определению является свойством ромба.

Таким образом, мы доказали, что если в параллелограмме вершина равноудалена от середин двух его противоположных сторон, то этот параллелограмм является ромбом.