Хорды MN и PK пересекаются в точке А так, что MA=3 см, NA=16 см, РА : КА = 1:3.Найдите длину хорды РК.

Давайте подробно разберём задачу.

У нас есть две хорды MN и PK, которые пересекаются в точке A. Даны следующие данные:

• MA = 3 см,
• NA = 16 см,
• отношение отрезков, на которые точка A делит хордой PK, — RA : KA = 1 : 3.

Нужно найти длину хорды PK.

Шаг 1. Определим длину хорды MN.

Так как точка A делит хорду MN на два отрезка MA и NA, длина хорды MN будет равна:

Шаг 2. Используем свойство пересекающихся хорд.

Существует известная теорема, которая говорит, что если две хорды пересекаются внутри окружности, то произведение длин отрезков на одной хорде равно произведению длин отрезков на другой хорде. То есть:

Подставим известные значения:

Получаем:

Шаг 3. Выразим RA и KA через отношение 1:3.

Нам дано, что отношение отрезков на хорде PK следующее: RA : KA = 1 : 3. Это означает, что:

Подставляем в уравнение:

Упростим:

Шаг 4. Найдём длину хорды PK.

Теперь, зная, что $RA = 4$ см и $KA = 3x = 12$ см, можем вычислить полную длину хорды PK:

Ответ:

Длина хорды PK равна 16 см.