Несколько задачек :3

Диагонали трапеции ABCD пересекаются в точке О. Площади ∆ВОС и ∆AOD относятся как 9÷1, сумма оснований ВС и AD = 4,8 см. Найдите основания трапеции.

Иииии вторая :

Отрезки АВ и CD пересекаются в точке О. АВ÷OB=DO÷OC. Доказать, что угол CBO= углу DAO.

Задача 1: Найдите основания трапеции

Условие задачи: Диагонали трапеции $ABCD$ пересекаются в точке $O$. Площади $\triangle BOC$ и $\triangle AOD$ относятся как $9:1$, а сумма оснований $BC$ и $AD$ равна $4.8$ см. Нужно найти длины оснований трапеции $BC$ и $AD$.

Решение:

1. Отношение площадей и оснований трапеции: Пусть длины оснований $BC = x$ и $AD = y$. В трапеции с пересечением диагоналей в одной точке отношение площадей треугольников, образованных пересекающимися диагоналями, равно отношению оснований этой трапеции. Таким образом, из условия следует, что:

   $$\frac{S_{\triangle BOC}}{S_{\triangle AOD}} = \frac{x}{y} = 9:1$$

   Отсюда:

   $$\frac{x}{y} = 9$$

   или $x = 9y$.

2. Использование условия суммы оснований: Из условия также известно, что сумма оснований $BC$ и $AD$ равна $4.8$ см. То есть:

   $$x + y = 4.8$$

   Подставляем $x = 9y$ в это уравнение:

   $$9y + y = 4.8$$ $$10y = 4.8$$ $$y = \frac{4.8}{10} = 0.48$$

3. Нахождение второго основания: Теперь, зная, что $y = 0.48$ см, подставим это значение в $x = 9y$:

   $$x = 9 \cdot 0.48 = 4.32 \, \text{см}$$

Ответ: Длины оснований трапеции равны $BC = 4.32$ см и $AD = 0.48$ см.

Задача 2: Доказать, что угол $\angle CBO = \angle DAO$

Условие задачи: Отрезки $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $O$, и известно, что $\frac{AB}{OB} = \frac{DO}{OC}$. Требуется доказать, что угол $\angle CBO = \angle DAO$.

Решение:

1. Рассмотрим треугольники $\triangle CBO$ и $\triangle DAO$: Чтобы доказать равенство углов $\angle CBO$ и $\angle DAO$, рассмотрим треугольники $\triangle CBO$ и $\triangle DAO$ и обратим внимание на отношение сторон.

2. Пропорциональные стороны: Из условия следует, что:

   $$\frac{AB}{OB} = \frac{DO}{OC}$$

   Это условие указывает на пропорциональность сторон в треугольниках $\triangle CBO$ и $\triangle DAO$.

3. Признак подобия треугольников: Треугольники $\triangle CBO$ и $\triangle DAO$ имеют общую вершину $O$ и соответствующие стороны, которые находятся в одинаковом отношении (по условию). Это достаточное основание для заключения, что треугольники $\triangle CBO$ и $\triangle DAO$ подобны по второму признаку подобия треугольников (две стороны пропорциональны и угол между ними общий).

4. Равенство углов: Из подобия треугольников $\triangle CBO \sim \triangle DAO$ следует равенство их соответствующих углов:

   $$\angle CBO = \angle DAO$$

Ответ: Таким образом, доказано, что $\angle CBO = \angle DAO$.