В прямом параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ AB = 1, BC = 7√3, угол ABC = 150°. Через диагональ AC и вершину B₁ проведена плоскость, составляющая с плоскостью основания угол 60°. Найдите площадь боковой поверхности параллелепипеда.

Основание параллелепипеда — параллелограмм. Боковая поверхность прямого параллелепипеда равна периметру основания, умноженному на высоту:

\[S_{\text{бок}}=P_{\text{осн}}\cdot h\]

Сначала найдём диагональ \(AC\) в треугольнике \(ABC\):

\[AC^2=AB^2+BC^2-2\cdot AB\cdot BC\cdot \cos 150^\circ\]

\[AC^2=1^2+(7\sqrt3)^2-2\cdot1\cdot7\sqrt3\cdot\left(-\frac{\sqrt3}{2}\right)=169\]

Значит, \(AC=13\).

Площадь треугольника \(ABC\):

\[S_{ABC}=\frac12\cdot AB\cdot BC\cdot\sin150^\circ=\frac12\cdot1\cdot7\sqrt3\cdot\frac12=\frac{7\sqrt3}{4}\]

Расстояние от точки \(B\) до диагонали \(AC\):

\[d=\frac{2S_{ABC}}{AC}=\frac{2\cdot\frac{7\sqrt3}{4}}{13}=\frac{7\sqrt3}{26}\]

Плоскость через \(AC\) и \(B_1\) образует с основанием угол \(60^\circ\), поэтому:

\[\tan60^\circ=\frac{h}{d}\]

\[h=d\sqrt3=\frac{7\sqrt3}{26}\cdot\sqrt3=\frac{21}{26}\]

Периметр основания:

\[P=2(AB+BC)=2(1+7\sqrt3)\]

Тогда боковая поверхность:

\[S_{\text{бок}}=2(1+7\sqrt3)\cdot\frac{21}{26}=\frac{21(1+7\sqrt3)}{13}\]

Ответ: \(\frac{21(1+7\sqrt3)}{13}\).

0 0 Пожаловаться