В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ отмечены точки M, N и K — середины рёбер AD, CD, A₁B₁ соответственно.
Найдите площадь сечения куба плоскостью MNK, если ребро куба равно 6.

Решим задачу координатным методом.

Пусть ребро куба равно $6$. Введём координаты:

Точки $M, N, K$ — середины рёбер:

Найдём уравнение плоскости $MNK$. Возьмём векторы:

Нормальный вектор к плоскости можно взять как векторное произведение:

Значит, нормальный вектор пропорционален $(1,-1,-1)$. Уравнение плоскости имеет вид:

Подставим точку $M(0,3,0)$:

Получаем уравнение плоскости:

то есть

Теперь найдём фигуру сечения внутри куба. В кубе координаты удовлетворяют условиям

Так как

то должно быть

Отсюда

На квадрате $0\le y\le 6,\;0\le z\le 6$ эта область является шестиугольником. Его вершины в координатах $(y,z)$:

Площадь этого шестиугольника удобно найти как площадь квадрата $6\times 6$, из которого вырезаны два равных прямоугольных треугольника с катетами $3$ и $3$:

Но это площадь проекции сечения на плоскость $Oyz$, а не площадь самого сечения.

Плоскость задана уравнением

Если рассматривать $x$ как функцию от $y,z$, то коэффициент увеличения площади равен