В кубе ABCDA1B1C1D1, ребро которого равно 4, точки Е и F – середины ребер АВ и B1C1 соответственно, а точка расположена на ребре CD так, что CP = 3PD. Найдите расстояние от точки A1 до плоскости треугольника EPF.

Для решения задачи найдем расстояние от точки $A_1$ до плоскости треугольника $EPF$. Начнем с определения координат всех точек, участвующих в задаче, предполагая, что куб расположен в декартовой системе координат.

1. Координаты точек куба

Пусть вершины куба имеют координаты:

• $A(0, 0, 0)$, $B(4, 0, 0)$, $C(4, 4, 0)$, $D(0, 4, 0)$,
• $A_1(0, 0, 4)$, $B_1(4, 0, 4)$, $C_1(4, 4, 4)$, $D_1(0, 4, 4)$.

2. Координаты точек $E$, $F$, $P$

1. Точка $E$ — середина ребра $AB$:

   $$E = \left(\frac{0 + 4}{2}, \frac{0 + 0}{2}, \frac{0 + 0}{2}\right) = (2, 0, 0).$$

2. Точка $F$ — середина ребра $B_1C_1$:

   $$F = \left(\frac{4 + 4}{2}, \frac{0 + 4}{2}, \frac{4 + 4}{2}\right) = (4, 2, 4).$$

3. Точка $P$ расположена на ребре $CD$, причём $CP = 3PD$. Разделим отрезок $CD$ в отношении 3:1. Координаты $C$ и $D$ известны:

   $$C = (4, 4, 0), \quad D = (0, 4, 0).$$

   Разделим $CD$:

   $$P = \left(\frac{3 \cdot 0 + 1 \cdot 4}{3 + 1}, \frac{3 \cdot 4 + 1 \cdot 4}{3 + 1}, \frac{3 \cdot 0 + 1 \cdot 0}{3 + 1}\right) = (1, 4, 0).$$

Таким образом, $P = (1, 4, 0)$.

3. Нахождение уравнения плоскости треугольника $EPF$

Плоскость определяется тремя точками: $E(2, 0, 0)$, $P(1, 4, 0)$, $F(4, 2, 4)$. Найдём векторное уравнение плоскости.

1. Векторы $\overrightarrow{EP}$ и $\overrightarrow{EF}$:

   $$\overrightarrow{EP} = P - E = (1 - 2, 4 - 0, 0 - 0) = (-1, 4, 0),$$ $$\overrightarrow{EF} = F - E = (4 - 2, 2 - 0, 4 - 0) = (2, 2, 4).$$

2. Векторное произведение $\overrightarrow{EP} \times \overrightarrow{EF}$:

   $$\overrightarrow{EP} \times \overrightarrow{EF} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -1 & 4 & 0 \\ 2 & 2 & 4 \end{vmatrix} = \mathbf{i} \cdot (4 \cdot 4 - 0 \cdot 2) - \mathbf{j} \cdot (-1 \cdot 4 - 0 \cdot 2) + \mathbf{k} \cdot (-1 \cdot 2 - 4 \cdot 2).$$