В тупоугольном треугольнике ABC H — точка пересечения высот. Радиус окружности, описанной около треугольника ABH, равен 3. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABC (используйте теорему синусов).

Давай разберём задачу шаг за шагом, как на форуме по геометрии.

Дано:

• Тупоугольный треугольник $ABC$ с ортоцентром $H$.

• Радиус окружности, описанной около $\triangle ABH$, равен $R_1 = 3$.

• Нужно найти радиус окружности, описанной около $\triangle ABC$ (обозначим его $R$).

Шаг 1. Связь ортоцентра и вершин

В любом треугольнике ортоцентр $H$ — точка пересечения высот. Для треугольника $ABC$ известно, что ортоцентр и вершины образуют «ортогональные треугольники», которые обладают интересным свойством:

Если взять треугольник, образованный одной вершиной, другой вершиной и ортоцентром, например $\triangle ABH$, то угол при ортоцентре $H$ — дополнительный к углу при вершине $C$ исходного треугольника.

Точнее, для тупоугольного треугольника угол $\angle AHB = 180^\circ - \angle C$.

Шаг 2. Формула радиуса описанной окружности через стороны и синус

Для любого треугольника с сторонами $a, b, c$ и углом $C$ напротив стороны $c$ радиус описанной окружности $R$ выражается через теорему синусов:

Применим это к треугольнику $\triangle ABH$:

• Пусть $AB = c$ (эта же сторона треугольника ABC).

• Угол при $H$ равен $180^\circ - \angle C$, тогда

Тогда радиус окружности, описанной около $\triangle ABH$, равен:

Ага, это то же самое, что и радиус описанной окружности треугольника ABC!

Шаг 3. Вывод

Мы получили, что для тупоугольного треугольника:

Поскольку $R_1 = 3$, то радиус окружности, описанной около $\triangle ABC$, тоже равен 3.

Ответ: