Точки M, N, P — соответственно середины рёбер HE, HF, HG треугольной пирамиды EFGH, а точка K лежит на отрезке FN. Определите взаимное расположение прямых:
а) NH и EF
б) PK и FG
в) MN и EF
г) MP и EG
д) KN и EG
е) MH и FG

Разбираю каждую пару как линии, а не как отрезки. Важно: если точка середины лежит на ребре, то прямая через эту точку и вершину совпадает с самим ребром.

Рассмотрим каждую пару по отдельности.

а) $NH$ и $EF$
Точки $N$ и $H$ лежат на ребре $HF$, значит прямая $NH$ — это та же самая прямая, что и $HF$.
Прямая $HF$ пересекает прямую $EF$ в точке $F$.
Ответ: пересекаются.

б) $PK$ и $FG$
Точки $P$ и $K$ лежат в грани $HFG$:

• $P$ — середина $HG$,

• $K$ лежит на $FN$, а значит на прямой $HF$.

Следовательно, прямая $PK$ лежит в плоскости треугольника $HFG$, как и прямая $FG$.
Значит, они либо пересекаются, либо параллельны.
Причём параллельны только в случае $K=N$, тогда $PK$ — средняя линия треугольника $HFG$.
Во всех остальных случаях пересекаются.

Ответ: в общем случае пересекаются; при $K=N$ — параллельны.

в) $MN$ и $EF$
$M$ и $N$ — середины рёбер $HE$ и $HF$ треугольника $HEF$.
Отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника, — средняя линия, значит

Ответ: параллельны.

г) $MP$ и $EG$
$M$ и $P$ — середины рёбер $HE$ и $HG$ треугольника $HEG$.
Следовательно, $MP$ — средняя линия этого треугольника, поэтому

Ответ: параллельны.

д) $KN$ и $EG$
Точки $K$ и $N$ лежат на прямой $FN$, а $F, N, H$ коллинеарны, значит прямая $KN$ совпадает с прямой $HF$.
Прямая $HF$ и ребро $EG$ не пересекаются и не лежат в одной плоскости.
Ответ: скрещиваются.

е) $MH$ и $FG$
Точки $M$ и $H$ лежат на ребре $HE$, значит прямая $MH$ совпадает с прямой $HE$.
Прямые $HE$ и $FG$ не пересекаются и не являются параллельными, следовательно, они не лежат в одной плоскости.
Ответ: скрещиваются.

Итог:

а) пересекаются
б) в общем случае пересекаются, при $K=N$ — параллельны
в) параллельны
г) параллельны
д) скрещиваются
е) скрещиваются