В параллелограмме ABCD диагонали равны. Докажите, что ABCD является прямоугольником.

Дано: ABCD — параллелограмм, диагонали AC и BD равны.

Доказать: ABCD — прямоугольник.

Рассмотрим треугольники ABC и BAD.

В параллелограмме противоположные стороны равны, поэтому:

• AB = AB — общая сторона;

• BC = AD — так как противоположные стороны параллелограмма равны;

• AC = BD — по условию диагонали равны.

Получаем, что три стороны одного треугольника равны трем сторонам другого треугольника, значит:

по третьему признаку равенства треугольников.

Следовательно, соответствующие углы этих треугольников равны:

Но в параллелограмме соседние углы являются дополнительными, то есть их сумма равна $180^{\circ }$:

Так как эти углы равны, обозначим каждый из них через $x$:

Значит:

В параллелограмме, если один из углов прямой, то все его углы прямые. Следовательно, все углы ABCD равны $90^{\circ }$.

По определению четырехугольник, у которого все углы прямые, является прямоугольником.

Следовательно, ABCD является прямоугольником.