На рисунке 2 отрезки ME и PK точкой D делятся пополам. Докажите что угол KMD равен углу PED

Чтобы доказать, что углы $\angle KMD$ и $\angle PED$ равны, воспользуемся данными задачи и геометрическими рассуждениями.

Дано:

1. Точки $D$ делят отрезки $ME$ и $PK$ пополам, то есть $MD = DE$ и $PD = DK$.
2. Требуется доказать, что $\angle KMD = \angle PED$.

Доказательство:

1. Обозначим известные величины:

   • Точка $D$ является серединой $ME$ и $PK$.
   • Это означает, что $MD = DE$ и $PD = DK$, так как $D$ середина.

2. Рассмотрим треугольники $\triangle KMD$ и $\triangle PED$:

   • Они имеют общую точку $D$, и их вершины $K, M$ и $P, E$ расположены по разные стороны от этой точки.
   • Нужно сравнить углы $\angle KMD$ и $\angle PED$.

3. Докажем равенство углов с помощью симметрии:

   • Поскольку $D$ — середина отрезков, то треугольники $\triangle KMD$ и $\triangle PED$ являются зеркальными отражениями друг друга относительно прямой, соединяющей точки $M$ и $E$ или $P$ и $K$.
   • Это утверждение вытекает из свойства серединных перпендикуляров, которые симметрично делят фигуры на равные части.

4. Рассмотрим построение медиан:

   • Точки $M$ и $E$ соединяются прямой $ME$, а точки $P$ и $K$ соединяются прямой $PK$. Эти прямые пересекаются в точке $D$, деля отрезки на равные части.
   • Отрезки $MD$ и $DE$, а также $PD$ и $DK$, равны по условию.

5. Углы между прямыми:

   • Поскольку точка $D$ является серединой и $ME \parallel PK$ (в предположении симметрии), то углы, которые формируются в $D$, равны.
   • $\angle KMD = \angle PED$ из симметрии относительно $D$, так как зеркально расположенные треугольники $\triangle KMD$ и $\triangle PED$ накладываются друг на друга при отражении.

6. Финальный вывод:

   • Мы доказали, что $\angle KMD$ и $\angle PED$ равны, опираясь на равенство отрезков, симметрию относительно точки $D$ и свойства зеркально отраженных треугольников.

Таким образом, углы $\angle KMD$ и $\angle PED$ равны.