Отрезки АD и ВС пересекаются в точке О и делятся этой точкой пополам. Докажите что треугольник ABD=DCA

Для доказательства того, что треугольник $\triangle ABD$ равен треугольнику $\triangle DCA$, воспользуемся тем, что точки $O$ делит отрезки $AD$ и $BC$ пополам, и применим теорему о признаке равенства треугольников.

Дано

1. Отрезки $AD$ и $BC$ пересекаются в точке $O$.
2. Точка $O$ является серединой каждого из отрезков $AD$ и $BC$, то есть: $$AO = OD \quad \text{и} \quad BO = OC.$$

Доказательство

Чтобы доказать равенство треугольников $\triangle ABD$ и $\triangle DCA$, докажем, что они равны по признаку равенства треугольников по стороне и двум прилежащим углам.

1. Стороны $AO = OD$ и $BO = OC$ (по условию, точка $O$ делит отрезки пополам).

2. Рассмотрим углы при вершине $O$:

   • Углы $\angle AOB$ и $\angle DOC$ равны, так как они вертикальные углы. По свойству вертикальных углов: $$\angle AOB = \angle DOC.$$
   • Углы $\angle OAB$ и $\angle OCD$ также равны, поскольку они являются соответственными углами при параллельных прямых (если мы проведем прямые $AB$ и $CD$, они пересекаются в $O$, и образуются соответственные углы).

3. Применение признака равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим углам): В треугольниках $\triangle ABD$ и $\triangle DCA$:

   • $AO = OD$,
   • $\angle AOB = \angle DOC$,
   • $\angle OAB = \angle OCD$.

   Таким образом, треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle DCA$ равны по стороне и двум прилежащим углам.

Заключение

Мы доказали, что треугольник $\triangle ABD$ равен треугольнику $\triangle DCA$ по стороне и двум прилежащим углам.