В треугольнике ABC известно, что AC=7 и угол C равен двум углам B. Точки X и Y отмечены на стороне BC так, что AX перпендикулярна BC и AY перпендикулярна AB. Оказалось, что XY=2. Найдите BC.

Обозначим углы треугольника: ∠B = B, ∠C = 2B, тогда
∠A = 180° − 3B.

Обозначим стороны стандартно:
BC = a (нужно найти), AC = b = 7, AB = c.

1. Связь сторон через теорему синусов

Так как $A = 180^\circ - 3B$, то $\sin A = \sin 3B$, значит:

Также:

2. Геометрическая модель координат

Расположим:

• $B = (0,0)$

• $BC$ — ось $Ox$

• $A = (14\cos^2 B,\; 14\sin B \cos B)$

• $C = (a,0)$, где $a = 21 - 28\sin^2 B$

3. Точки X и Y

• $X$ — проекция A на BC → $X = (14\cos^2 B, 0)$

• $Y$ — проекция A на прямую AB, пересечённая с BC

Вычисление даёт:

По условию:

Подставим $\sin^2 B = 1 - \cos^2 B$:

Решаем:

4. Находим BC

Ответ: