Пусть радиусы первой и второй окружностей равны соответственно (r) и (R). Их центры обозначим через (O_1) и (O_2).

Прямая (AB) является общей внешней касательной: (O_1A\perp AB) и (O_2B\perp AB). Расположим (AB) горизонтально. Тогда можно принять

[
A=(0,0), \qquad B=(d,0),
]

где (d=AB), а центры окружностей имеют координаты

[
O_1=(0,r), \qquad O_2=(d,R).
]

Так как окружности касаются внешним образом, расстояние между их центрами равно сумме радиусов:

[
O_1O_2=r+R.
]

С другой стороны, из прямоугольного треугольника с катетами (AB=d) и разностью высот центров (R-r) получаем:

[
d^2+(R-r)^2=(R+r)^2.
]

Раскроем скобки:

[
d^2+R^2-2Rr+r^2=R^2+2Rr+r^2,
]

откуда

[
d^2=4Rr.
]

Следовательно,

[
AB=2\sqrt{Rr}.
]

Точка (C) лежит на отрезке (O_1O_2) и делит его так, что

[
O_1C=r,\qquad CO_2=R.
]

Её координаты равны

[
C\left(\frac{rd}{r+R},\frac{2rR}{r+R}\right).
]

Рассмотрим векторы

[
\overrightarrow{CA}=
\left(-\frac{rd}{r+R},-\frac{2rR}{r+R}\right),
]

[
\overrightarrow{CB}=
\left(\frac{Rd}{r+R},-\frac{2rR}{r+R}\right).
]

Их скалярное произведение:

-\frac{rRd^2}{(r+R)^2}
+
\frac{4r^2R^2}{(r+R)^2}.
]

Но (d^2=4rR), поэтому

[
\overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{CB}=0.
]

Значит,

[
AC\perp BC.
]

Итак, треугольник (ABC) прямоугольный, причём прямой угол находится при (C).

Теперь подставим (r=2), (R=8).

[
AB=2\sqrt{2\cdot 8}=2\sqrt{16}=8.
]

Высота треугольника, опущенная из (C) на (AB), равна второй координате точки (C):

\frac{2\cdot2\cdot8}{2+8}

\frac{32}{10}

\frac{16}{5}.
]

Тогда площадь:

\frac12\cdot AB\cdot h

\frac12\cdot 8\cdot\frac{16}{5}

\frac{64}{5}.
]

Ответ:

[
\boxed{AC\perp BC}
]

и

[
\boxed{S_{\triangle ABC}=\frac{64}{5}}.
]