Как найти радиус описанной окружности вокруг треугольника, зная длины сторон треугольника?
Пожалуйста, напишите не просто формулу, а её вывод.

Пусть дан треугольник со сторонами $a$, $b$, $c$. Нужно найти радиус $R$ описанной окружности — окружности, которая проходит через все три вершины треугольника.

Известная формула:

где $S$ — площадь треугольника. Но выведем её, а затем выразим площадь только через стороны.

1. Связь радиуса с площадью треугольника

Рассмотрим сторону $c$ и угол между сторонами $a$ и $b$, обозначим его через $\gamma$.

Площадь треугольника можно выразить через две стороны и угол между ними:

Теперь используем свойство описанной окружности. Если сторона $c$ является хордой окружности радиуса $R$, то она связана с центральным углом. Угол $\gamma$ — вписанный угол, который опирается на эту хорду. Центральный угол, опирающийся на ту же хорду, равен $2\gamma$.

Длина хорды в окружности радиуса $R$:

Отсюда:

Подставляем это в формулу площади:

Получаем:

Теперь выразим $R$:

Это уже формула радиуса описанной окружности через стороны и площадь.

2. Выражаем площадь через стороны

Так как известны только длины сторон, используем формулу Герона.

Обозначим полупериметр:

Тогда площадь:

Подставляем её в формулу радиуса:

И окончательно получаем:

где

3. Полный вывод в одной цепочке

Начинаем с площади:

Из свойства вписанного угла:

значит:

Тогда:

А так как:

то:

Таким образом, зная только три стороны треугольника, сначала находят его площадь по формуле Герона, а затем подставляют её в формулу радиуса описанной окружности.