Докажите, что катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между гипотенузой и

Ответы на вопрос

Отвечает Диняева Ксения.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $A BC$ с прямым углом $C$ . Пусть $C H$ — высота, проведённая из прямого угла к гипотенузе $A B$ . Обозначим:

Нужно доказать, что катет $A C$ является средним пропорциональным между гипотенузой $A B$ и его проекцией $A H$ , то есть:

A C^{2} = A B \cdot A H

Докажем это.

Рассмотрим треугольники $A BC$ и $A C H$ .

Так как $A BC$ — прямоугольный треугольник, а $C H$ — высота к гипотенузе, то угол $A$ у этих треугольников общий:

∠ B A C = ∠ C A H

Кроме того:

∠ A CB = 9 0^{\circ}, ∠ A H C = 9 0^{\circ}

Следовательно, треугольники $A BC$ и $A C H$ подобны по двум углам.

Из подобия следует пропорциональность соответствующих сторон:

\frac{A B}{A C} = \frac{A C}{A H}

Перемножим крайние и средние члены пропорции:

A C^{2} = A B \cdot A H

Получили, что квадрат катета равен произведению гипотенузы на проекцию этого катета на гипотенузу.

Значит, катет $A C$ является средним пропорциональным между гипотенузой $A B$ и его проекцией $A H$ . Что и требовалось доказать.

Докажите, что катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу.