Докажите, что если катет и высота, опущенная на гипотенузу, одного прямоугольного треугольника равны соответственно катету и высоте, опущенной на гипотенузу, другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

Рассмотрю два прямоугольных треугольника $\triangle ABC$ и $\triangle A'B'C'$ с прямыми углами при $C$ и $C'$. Пусть в первом $AC=a$ — данный катет, $AB=c$ — гипотенуза, $CH=h$ — высота к гипотенузе; во втором соответствующие величины равны: $A'C'=a$ и $C'H'=h$.

Использую стандартные соотношения для прямоугольного треугольника:

где $b=BC$ — второй катет.

Из $h=\dfrac{ab}{c}$ выразим $b$ через $a,h,c$: $b=\dfrac{hc}{a}$. Подставим в теорему Пифагора:

Переносим слагаемые с $c^2$ влево:

Тем самым гипотенуза $c$ однозначно выражается через заданные $a$ и $h$ (а именно $a>h$, так как высота к гипотенузе всегда меньше любого катета в прямоугольном треугольнике). Значит, одинаковые $a$ и $h$ в двух треугольниках дают одинаковый $c$.

Тогда второй катет также однозначно восстанавливается:

то есть он тоже одинаков в обоих треугольниках.

Итак, у двух прямоугольных треугольников совпадают оба катета и гипотенуза; следовательно, треугольники равны (по трём сторонам, или, в контексте прямоугольных, по катету и гипотенузе).