Высота треугольника делит угол в отношении 2:1, а сторону треугольника в отношение 3:1. Найдите

Ответы на вопрос

Отвечает Незнаева Катерина.

Обозначим треугольник $A BC$ , а $A D$ — высота, опущенная из вершины $A$ на сторону $BC$ .

По условию высота делит угол $A$ в отношении $2 : 1$ . Пусть

∠ B A D = 2 x, ∠ D A C = x .

Также высота делит сторону $BC$ в отношении $3 : 1$ . Поскольку большему углу соответствует больший отрезок основания, можно записать

B D : D C = 3 : 1.

Рассмотрим два прямоугольных треугольника $A B D$ и $A C D$ .

В треугольнике $A B D$ :

tan 2 x = \frac{B D}{A D} .

В треугольнике $A C D$ :

tan x = \frac{D C}{A D} .

Разделим первое равенство на второе:

\frac{tan 2 x}{tan x} = \frac{B D}{D C} = 3.

Значит,

tan 2 x = 3 tan x .

Используем формулу двойного угла:

tan 2 x = \frac{2 tan x}{1 - tan ^{2} x} .

Получаем

\frac{2 tan x}{1 - tan ^{2} x} = 3 tan x .

Так как $x \neq = 0$ , сокращаем на $tan x$ :

\frac{2}{1 - tan ^{2} x} = 3.

Отсюда

2 = 3 - 3 tan^{2} x,

3 tan^{2} x = 1,

tan^{2} x = \frac{1}{3} .

Так как $x$ — острый угол,

tan x = \frac{1}{3},

следовательно,

x = 3 0^{\circ} .

Тогда угол при вершине $A$ :

∠ A = 2 x + x = 3 x = 9 0^{\circ} .

Теперь найдём остальные углы. В прямоугольном треугольнике $A B D$ :

∠ B = 9 0^{\circ} - ∠ B A D = 9 0^{\circ} - 6 0^{\circ} = 3 0^{\circ} .

А в треугольнике $A C D$ :

∠ C = 9 0^{\circ} - ∠ D A C = 9 0^{\circ} - 3 0^{\circ} = 6 0^{\circ} .

Ответ:

3 0^{\circ}, 6 0^{\circ}, 9 0^{\circ} .

Высота треугольника делит угол в отношении 2:1, а сторону треугольника в отношение 3:1. Найдите углы этого треугольника. Помогите пожалуйста решить эту
задачу.