Окружность с центром О, вписанная в треугольник АВС, касается стороны ВС в точке М. Окружность с центром О₁ касается стороны ВС в точке N, а также продолжений сторон АС и АВ.
а) Докажите, что около четырёхугольника ВОСО₁ можно описать окружность.
б) Найдите площади четырёхугольников ВОСО₁ и NОМО₁, если известно, что АС=6, ВС=8, АВ=10.

Обозначим углы треугольника через $A,B,C$. Точка $O$ — центр вписанной окружности, а $O_1$ — центр вневписанной окружности, противоположной вершине $A$.

а) Докажем, что $BOC{O}_1$ — вписанный четырёхугольник

Так как $O$ — инцентр треугольника $ABC$, $BO$ и $CO$ являются биссектрисами углов $B$ и $C$. Поэтому

В треугольнике $BOC$

Но

следовательно,

Теперь рассмотрим $O_1$. Поскольку это центр вневписанной окружности, прямые $B{O}_1$ и $C{O}_1$ являются биссектрисами внешних углов при $B$ и $C$. Поэтому

В треугольнике $B{O}_{1}C$

Значит,

Противоположные углы четырёхугольника $BOC{O}_1$ в сумме дают $180^{\circ }$. Следовательно,

б) Найдём площади четырёхугольников

Дано:

Поскольку

треугольник $ABC$ прямоугольный, причём

Его площадь:

Полупериметр:

Радиус вписанной окружности