В прямоугольнике ABCD проведена биссектриса угла А, которая разбивает сторону ВС на отрезки длиной 5см и 3 см. Найти периметр прямоугольника ABCD.

Для того чтобы найти периметр прямоугольника ABCD, давайте разобьем задачу на несколько шагов:

1. Обозначения и информация, данная в задаче:
   Пусть прямоугольник ABCD имеет вершины A, B, C и D, где угол A — прямой (90 градусов). Проведена биссектриса угла A, которая пересекает сторону BC в точке M, разбивая её на два отрезка: BM = 5 см и MC = 3 см. Это означает, что вся сторона BC равна 5 см + 3 см = 8 см.

2. Использование теоремы о биссектрисе угла:
   Теорема о биссектрисе угла прямоугольного треугольника гласит, что биссектриса угла прямого треугольника делит противоположную сторону в отношении длин смежных сторон. В нашем случае это касается прямоугольного треугольника ABM, где угол B = 90 градусов, и угол A делится биссектрисой.

3. Построение отношений сторон с помощью теоремы:
   Согласно теореме, отношения отрезков на стороне BC будут такими же, как и отношения длин прилежащих сторон AB и AD. Обозначим длину стороны AB за x, а длину стороны AD за y. Тогда:

   $$\frac{BM}{MC} = \frac{AB}{AD}.$$

   Подставим известные значения:

   $$\frac{5}{3} = \frac{x}{y}.$$

   Это даёт нам пропорцию, из которой можно выразить одну сторону через другую. Умножив обе части на y, получаем:

   $$x = \frac{5}{3}y.$$

4. Использование теоремы Пифагора:
   Поскольку ABCD — прямоугольник, то треугольник ABD прямоугольный, и для него справедлива теорема Пифагора:

   $$AB^2 + AD^2 = BD^2.$$

   Параллельно, треугольник BCD тоже прямоугольный, и для него теорема Пифагора даёт:

   $$BC^2 + CD^2 = BD^2.$$

   Поскольку BD общая диагональ для этих двух треугольников, можно приравнять выражения для BD^2:

   $$AB^2 + AD^2 = BC^2 + CD^2.$$

   Подставим известные значения: BC = 8 см, CD = AB = x, и AD = y:

   $$x^2 + y^2 = 8^2 + y^2.$$

   Упростим:

   $$x^2 = 64.$$

   Подставим значение x, которое мы нашли из пропорции $x = \frac{5}{3}y$:

   $$\left( \frac{5}{3}y \right)^2 = 64.$$

   Раскроем скобки:

   $$\frac{25}{9}y^2 = 64.$$

   Умножим обе части на 9:

   $$25y^2 = 576.$$

   Разделим обе части на 25:

   $$y^2 = \frac{576}{25} = 23.04.$$

   Возьмем квадратный корень:

   $$y = \sqrt{23.04} \approx 4.8 \text{ см}.$$

5. Нахождение длины стороны AB (x):
   Теперь мы можем найти x, подставив значение y в пропорцию:

   $$x = \frac{5}{3}y = \frac{5}{3} \times 4.8 = 8 \text{ см}.$$

6. Нахождение периметра прямоугольника:
   Периметр прямоугольника равен сумме всех его сторон, то есть:

   $$P = 2(AB + BC) = 2(8 + 8) = 2 \times 16 = 32 \text{ см}.$$

Таким образом, периметр прямоугольника ABCD равен 32 см.