Прямая, пересекающая диагональ BD параллелограмма ABCD в точке E, пересекает его стороны AB и CD в точках M и K соответственно, причем ME = KE.Доказать, что четырехугольник
BKDM-параллелограмм

Давайте докажем, что четырехугольник $BKDM$ является параллелограммом.

Дано:

1. $ABCD$ — параллелограмм.
2. Прямая пересекает диагональ $BD$ в точке $E$, стороны $AB$ и $CD$ в точках $M$ и $K$ соответственно.
3. $ME = KE$.

Требуется доказать:

$BKDM$ — параллелограмм.

Доказательство:

1. Свойства параллелограмма:

   • В параллелограмме диагонали точкой пересечения делятся пополам. Следовательно, точка $E$ делит диагональ $BD$ пополам, так как $ABCD$ — параллелограмм.

   Пусть $E$ — середина $BD$. Значит:

   $$BE = ED.$$

2. Рассмотрим прямую $MK$:

   • По условию $ME = KE$, следовательно, точка $E$ также является серединой отрезка $MK$.

3. Середины связаны между собой:

   • Мы видим, что точки $E$, являющиеся серединами $BD$ и $MK$, лежат на прямой. Это важное свойство в данном доказательстве.

4. Рассмотрим четырехугольник $BKDM$:

   • В четырехугольнике $BKDM$ требуется доказать, что противоположные стороны параллельны.

5. Доказательство параллельности сторон:

   • $BK \parallel DM$: $AB \parallel CD$ (по свойству параллелограмма). Поскольку $M \in AB$, а $K \in CD$, прямые $MK$ и $AB$ (также $CD$) находятся в одной плоскости. Кроме того, из симметрии относительно точки $E$ (середина $MK$) и свойства параллельности $AB \parallel CD$ следует, что $BK \parallel DM$.

   • $BM \parallel DK$: Аналогично рассуждаем для сторон $BM$ и $DK$. Поскольку $AB \parallel CD$, а точки $M$ и $K$ лежат на прямых, параллельных сторонам параллелограмма, то $BM \parallel DK$.

6. Заключение:

   • Противоположные стороны $BKDM$ попарно параллельны ($BK \parallel DM$ и $BM \parallel DK$).
   • По определению, четырехугольник с попарно параллельными противоположными сторонами является параллелограммом.

Ответ:

Четырехугольник $BKDM$ — параллелограмм.