1) Стороны треугольника соответственно равны 5, 12 и 13. Где расположен центр окружности, описанной около него?
2) Расстояние от центра вписанной в прямоугольный треугольник окружности до концов гипотенузы равны √5 и √10. Найдите длину гипотенузы.

1) Стороны треугольника равны 5, 12 и 13. Где расположен центр описанной окружности?

Проверим, является ли треугольник прямоугольным:

Значит, треугольник прямоугольный, а сторона 13 — гипотенуза.

У прямоугольного треугольника центр описанной окружности находится в середине гипотенузы. Это связано с тем, что центр окружности, описанной около любого треугольника, является точкой пересечения серединных перпендикуляров к сторонам, а в прямоугольном треугольнике эта точка совпадает с серединой гипотенузы.

Ответ: центр описанной окружности расположен в середине стороны длиной 13.

2) Расстояние от центра вписанной в прямоугольный треугольник окружности до концов гипотенузы равны $\sqrt5$ и $\sqrt{10}$. Найдите длину гипотенузы.

Обозначим концы гипотенузы через $A$ и $B$, а центр вписанной окружности — через $I$.

Пусть радиус вписанной окружности равен $r$. Введём:

Рассмотрим прямоугольный треугольник с катетами $a$ и $b$. Если центр вписанной окружности имеет координаты $(r,r)$, то:

Обозначим:

Тогда:

Разность этих равенств даёт:

Кроме того, так как треугольник прямоугольный, а радиус вписанной окружности равен:

получаем:

Используя условие прямоугольности:

подставим $a=x+r,\ b=y+r,\ c=x+y$:

После раскрытия скобок:

Решение системы даёт положительные значения:

Так как:

то:

Ответ: длина гипотенузы равна 5.

0 0 Пожаловаться