Точка внутри круга радиусом 6 см делит проходящую через неё хорду на отрезки 5 и 4 см. Найдите расстояние от точки до окружности.

Дано:

• Радиус круга $R = 6$ см.

• Точка $P$ находится внутри круга.

• Хорда $AB$, проходящая через точку $P$, делится ею на два отрезка: $AP = 5$ см и $PB = 4$ см.

Найти: расстояние от точки $P$ до окружности.

Решение

Воспользуемся теоремой о пересекающихся хордах:

Если две хорды окружности пересекаются в одной точке, то произведения длин отрезков одной хорды равны произведению длин отрезков другой хорды.

Проведём через точку $P$ диаметр окружности $CD$. Обозначим центр окружности через $O$, а расстояние $OP$ через $x$.

Так как радиус окружности равен 6 см, то отрезки диаметра, на которые его делит точка $P$, равны:

По теореме о пересекающихся хордах:

Подставим известные значения:

Раскроем скобки, используя формулу разности квадратов:

Отсюда:

Таким образом, расстояние от центра окружности до точки $P$ равно 4 см.

Теперь найдём кратчайшее расстояние от точки $P$ до окружности. Оно равно разности радиуса и расстояния от центра до точки:

Ответ: $\boxed{2\text{ см}}$.