В треугольнике АВС угол А равен альфа, угол С равен бета, высота ВН равна 4 см. Найдите АС.

Дано:

Треугольник $ABC$, в котором:

• $\angle A=\alpha$;

• $\angle C=\beta$;

• $BH=4$ см — высота, проведённая из вершины $B$ к прямой $AC$.

Найти: $AC$.

Решение

Высота $BH$ перпендикулярна прямой $AC$, поэтому треугольники $ABH$ и $CBH$ прямоугольные.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABH$.

По определению тангенса острого угла:

Отсюда:

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $CBH$.

Аналогично:

Следовательно:

Если оба угла $\alpha$ и $\beta$ острые, основание высоты $H$ находится на стороне $AC$. Поэтому:

Подставляем полученные выражения:

Выносим общий множитель:

Эту формулу можно также записать через котангенсы:

Полученное выражение справедливо и в случае, когда один из углов $\alpha$ или $\beta$ тупой, поскольку котангенс тупого угла отрицателен.

Ответ: