Угол между касательными, проведёнными к окружности из одной точки, равен 50°. Чему равна величина меньшей дуги окружности, ограниченной точками касания?

Ответ: 130°.

Решение:

Пусть $O$ — центр окружности, а $A$ и $B$ — точки касания. Из одной точки вне окружности проведены две касательные, угол между которыми равен $50^\circ$.

1. Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной. Поэтому углы между радиусами $OA$, $OB$ и касательными равны $90^\circ$.

2. Рассмотрим четырёхугольник, образованный центром окружности, точками касания и внешней точкой, из которой проведены касательные. Сумма углов четырёхугольника равна $360^\circ$.

3. Обозначим через $\angle AOB$ центральный угол, опирающийся на меньшую дугу $AB$. Тогда:

Отсюда:

Величина меньшей дуги окружности равна величине соответствующего центрального угла. Следовательно, меньшая дуга $AB$ равна $130^\circ$.

Ответ: $130^\circ$.