Тангенс угла наклона бокового ребра правильного тетраэдра к плоскости основания равен?

В правильном тетраэдре все рёбра равны. Пусть ребро равно \( a \). Основание — равносторонний треугольник.

Высота тетраэдра падает в центр основания. Расстояние от центра основания до вершины основания равно радиусу описанной окружности равностороннего треугольника:

\[ R=\frac{a}{\sqrt{3}} \]

Высота тетраэдра:

\[ h=\sqrt{a^2-R^2}=\sqrt{a^2-\frac{a^2}{3}}=a\sqrt{\frac{2}{3}} \]

Тангенс угла наклона бокового ребра к плоскости основания равен отношению высоты к проекции ребра на основание:

\[ \tan \alpha=\frac{h}{R}=\frac{a\sqrt{\frac{2}{3}}}{\frac{a}{\sqrt{3}}}=\sqrt{2} \]

Ответ: \( \sqrt{2} \).

0 0 Пожаловаться