В параллелограмме ABCD AB(2;5), AD(3;-4), точки M и N лежат на сторонах BC и CD соответственно так, что BM = MC, CN : ND = 3 : 1.
а) Найдите координаты вектора MN.
б) Запишите разложение вектора MN по координатным векторам i и j.
в) Найдите длину вектора AC.

Даны векторы:

\[ \overrightarrow{AB}=(2;5),\qquad \overrightarrow{AD}=(3;-4) \]

Точка \(M\) — середина стороны \(BC\), поэтому:

\[ \overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AD} \]

Точка \(N\) делит сторону \(CD\) в отношении \(CN:ND=3:1\), поэтому:

\[ \overrightarrow{AN}=\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD} \]

Тогда:

\[ \overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AM}=-\frac{3}{4}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AD} \]

\[ \overrightarrow{MN}=-\frac{3}{4}(2;5)+\frac{1}{2}(3;-4)=(0;-\frac{23}{4}) \]

а) \[ \overrightarrow{MN}=(0;-\frac{23}{4}) \]

б) \[ \overrightarrow{MN}=0\mathbf{i}-\frac{23}{4}\mathbf{j} \]

Диагональ параллелограмма:

\[ \overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=(5;1) \]

в) \[ |\overrightarrow{AC}|=\sqrt{5^2+1^2}=\sqrt{26} \]

0 0 Пожаловаться