Точка М расположена на отрезке АВ=30 так, что АМ:МВ=3:2. Найдите расстояние между серединами отрезков АМ и МВ.

Задача сводится к нахождению расстояния между серединами двух отрезков: отрезков АМ и МВ. Для этого нужно выполнить несколько шагов:

1. Определим координаты точек на прямой:
   Пусть точка A находится в начале отсчета, т.е. её координаты равны 0, а точка B имеет координаты 30 (поскольку длина отрезка AB = 30).

2. Найдем координаты точки M:
   По условию задачи, точка M делит отрезок AB в отношении 3:2, т.е. АМ:МВ = 3:2. Это значит, что точка M делит отрезок AB на 5 частей, из которых 3 части приходятся на АМ, а 2 части — на МВ.

   Длина всей линии AB — 30 единиц, а точка M делит её на 5 частей, каждая из которых имеет длину 30 / 5 = 6 единиц.
   Таким образом, точка M будет находиться на расстоянии 3 части от точки A и 2 части от точки B. То есть её координаты:

   $$x_M = 3 \times 6 = 18$$

   Таким образом, точка M имеет координаты (18, 0).

3. Найдем координаты середины отрезка АМ:
   Середина отрезка АМ — это точка, которая находится на равном расстоянии от точек A и M. Координаты середины отрезка вычисляются по формуле:

   $$x_{\text{середина АМ}} = \frac{x_A + x_M}{2} = \frac{0 + 18}{2} = 9$$

   Таким образом, середина отрезка АМ находится в точке с координатами (9, 0).

4. Найдем координаты середины отрезка МВ:
   Середина отрезка МВ — это точка, которая находится на равном расстоянии от точек M и B. Координаты середины отрезка вычисляются по аналогичной формуле:

   $$x_{\text{середина МВ}} = \frac{x_M + x_B}{2} = \frac{18 + 30}{2} = 24$$

   Таким образом, середина отрезка МВ находится в точке с координатами (24, 0).

5. Найдем расстояние между серединами отрезков АМ и МВ:
   Теперь, чтобы найти расстояние между двумя точками на прямой, нужно просто вычислить разницу между их координатами:

   $$\text{расстояние} = |x_{\text{середина МВ}} - x_{\text{середина АМ}}| = |24 - 9| = 15$$

Ответ: расстояние между серединами отрезков АМ и МВ равно 15 единиц.