Катеты треугольника относятся как 3 к 4,периметр треугольника =24.Найти радиус описанной окружности

Для того чтобы найти радиус описанной окружности треугольника, нужно пройти несколько шагов.

1. Обозначим стороны треугольника: Пусть катеты прямоугольного треугольника будут $a$ и $b$, а гипотенуза — $c$. Из условия задачи катеты относятся как 3 к 4, то есть можно записать:

   $$a = 3x, \quad b = 4x$$

   Где $x$ — некоторый коэффициент пропорциональности.

2. Используем периметр треугольника: Периметр прямоугольного треугольника равен сумме всех его сторон. Из условия периметр $P = 24$. Таким образом:

   $$a + b + c = 24$$

   Подставим выражения для $a$ и $b$:

   $$3x + 4x + c = 24$$ $$7x + c = 24$$

3. Найдем гипотенузу $c$: Для прямоугольного треугольника выполняется теорема Пифагора:

   $$c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{(3x)^2 + (4x)^2} = \sqrt{9x^2 + 16x^2} = \sqrt{25x^2} = 5x$$

   Подставим это значение для $c$ в уравнение для периметра:

   $$7x + 5x = 24$$ $$12x = 24$$ $$x = 2$$

4. Найдем стороны треугольника: Теперь, зная $x = 2$, можем вычислить катеты и гипотенузу:

   $$a = 3x = 6, \quad b = 4x = 8, \quad c = 5x = 10$$

5. Найдем радиус описанной окружности: Для прямоугольного треугольника радиус описанной окружности вычисляется по формуле:

   $$R = \frac{c}{2}$$

   Где $c$ — гипотенуза треугольника. Подставляем $c = 10$:

   $$R = \frac{10}{2} = 5$$

Таким образом, радиус описанной окружности этого треугольника равен 5.