В треугольнике ABC угол A = 45°, угол C = 30°, BC = 6 см. Найдите стороны AB и AC треугольника и его площадь.

Дано: \(\angle A = 45^\circ\), \(\angle C = 30^\circ\), \(BC = 6\) см.

Найдём третий угол:

\[\angle B = 180^\circ - 45^\circ - 30^\circ = 105^\circ\]

Сторона \(BC\) лежит напротив угла \(A\), значит по теореме синусов:

\[\frac{BC}{\sin A}=\frac{AB}{\sin C}=\frac{AC}{\sin B}\]

Найдём \(AB\):

\[AB=\frac{BC\cdot \sin C}{\sin A}=\frac{6\cdot \frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=3\sqrt{2}\text{ см}\]

Найдём \(AC\):

\[AC=\frac{BC\cdot \sin 105^\circ}{\sin 45^\circ}\]

\[\sin 105^\circ=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\]

\[AC=\frac{6\cdot \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=3(\sqrt{3}+1)\text{ см}\]

Площадь найдём по формуле:

\[S=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot AC\cdot \sin B\]

\[S=\frac{1}{2}\cdot 3\sqrt{2}\cdot 3(\sqrt{3}+1)\cdot \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}=\frac{9}{2}(\sqrt{3}+1)\text{ см}^2\]

Ответ: \(AB=3\sqrt{2}\) см, \(AC=3(\sqrt{3}+1)\) см, \(S=\frac{9}{2}(\sqrt{3}+1)\text{ см}^2\).

0 0 Пожаловаться