Abcda1b1c1d1- куб. найдите угол между прямыми ad1 и bd

Чтобы найти угол между прямыми $AD_1$ и $BD$ в кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$, сначала рассмотрим, как эти линии располагаются в пространстве.

В кубе все грани являются квадратами, а все стороны равны. Прямая $AD_1$ является диагональю грани $ADD_1A_1$, а прямая $BD$ является одной из сторон куба. Чтобы найти угол между этими прямыми, нужно использовать векторный подход.

1. Находим векторы:

   • Вектор $\overrightarrow{AD_1}$ можно найти, вычитая координаты точки $A$ из координат точки $D_1$. Предположим, что $A(0,0,0)$, и $D_1(x,x,x)$, где $x$ - длина стороны куба. Тогда $\overrightarrow{AD_1} = (x,x,x)$.
   • Вектор $\overrightarrow{BD}$ можно найти аналогично. Если $B(0,x,0)$ и $D(x,0,0)$, то $\overrightarrow{BD} = (x,-x,0)$.

2. Находим угол:

   • Угол между двумя векторами $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$ можно найти по формуле $\cos\theta = \frac{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}| |\overrightarrow{b}|}$.
   • Скалярное произведение $\overrightarrow{AD_1} \cdot \overrightarrow{BD} = x \cdot x + x \cdot (-x) + x \cdot 0 = 0$.
   • Длины векторов: $|\overrightarrow{AD_1}| = \sqrt{x^2 + x^2 + x^2} = x\sqrt{3}$, $|\overrightarrow{BD}| = \sqrt{x^2 + (-x)^2 + 0^2} = x\sqrt{2}$.
   • Подставляем в формулу: $\cos\theta = \frac{0}{x\sqrt{3} \cdot x\sqrt{2}} = 0$.

Таким образом, угол $\theta$ между прямыми $AD_1$ и $BD$ равен 90 градусов, так как косинус угла равен 0, что соответствует углу в 90 градусов.