5.Треугольник АВС вписан в окружность сечения шара плоскостью. АВ=ВС=40, АС=48, ОО1=5. Найдите радиус шара.

Для решения задачи определим некоторые ключевые моменты:

1. Определение фигуры и связей: треугольник $ABC$ вписан в окружность, которая является сечением шара. Это означает, что окружность треугольника является большим кругом (максимальным по площади сечением) в плоскости шара. Радиус этой окружности совпадает с радиусом сечения шара, но не шара целиком, так как центр шара и центр этой окружности не совпадают.

2. Дано в задаче:

   • $AB = BC = 40$ и $AC = 48$ – это равнобедренный треугольник с основанием $AC$.
   • $OO_1 = 5$, где $O$ – центр шара, а $O_1$ – центр окружности, в которую вписан треугольник $ABC$.

3. Цель: найти радиус $R$ шара.

Шаги решения:

1. Найдем радиус окружности $O_1$, в которую вписан треугольник $ABC$

Для равнобедренного треугольника с известными сторонами можно воспользоваться формулой радиуса окружности, описанной вокруг треугольника, используя его стороны и площадь.

Сначала найдем площадь треугольника $ABC$ по формуле Герона:

Теперь площадь треугольника $ABC$ ($S$) равна:

Подставляем значения:

Теперь используем формулу радиуса описанной окружности для треугольника:

Подставляем значения:

Таким образом, радиус окружности $O_1$ равен $R = 25$.

2. Найдем радиус шара

Мы знаем, что расстояние от центра шара $O$ до центра описанной окружности $O_1$ (центр плоского сечения) равно $OO_1 = 5$. Так как $O_1$ лежит в плоскости большого круга, радиус шара ($R_{\text{шар}}$) связан с радиусом окружности в плоскости сечения и расстоянием $OO_1$ по теореме Пифагора:

Подставляем значения:

Ответ:

Радиус шара $R_{\text{шар}} \approx 25.5$.