Отрезок сА — биссектриса треугольника ФСН. Найдите сторону ФА, учитывая, что ФС:СН = 5:6, а АН - АФ = 7 см.

Для решения задачи нужно применить теорему о биссектрисе в треугольнике.

Условия задачи:

• Треугольник $\triangle FCS$, где $FS$ и $CN$ — стороны, биссектрисой которой делится угол $\angle F$.

• Отрезок $AN$ — это отрезок, который биссектриса треугольника делит на две части.

• Дано, что отношение $FS : CN = 5 : 6$.

• Длина отрезка $AN - AF = 7 \, \text{см}$.

Решение:

1. Использование теоремы о биссектрисе: Теорема о биссектрисе утверждает, что биссектрисы угла в треугольнике делят противоположные стороны в пропорции, равной отношению прилежащих сторон. То есть, если биссектрисой угла $\angle F$ треугольника $\triangle FCS$ делится отрезок $SC$, то выполняется следующее отношение:

   $$\frac{FS}{CN} = \frac{AN}{AF}.$$

2. Подставляем известные данные: По условию задачи известно, что $FS : CN = 5 : 6$, то есть:

   $$\frac{FS}{CN} = \frac{5}{6}.$$

   Также известно, что $AN - AF = 7 \, \text{см}$, то есть $AN = AF + 7$.

3. Выражаем $AN$ через $AF$: Пусть длина отрезка $AF = x$. Тогда $AN = x + 7$.

4. Подставляем в пропорцию: Теперь, используя теорему о биссектрисе, подставляем в пропорцию:

   $$\frac{5}{6} = \frac{x + 7}{x}.$$

5. Решаем уравнение: Умножим обе части уравнения на $6x$, чтобы избавиться от дробей:

   $$5x = 6(x + 7).$$

   Раскроем скобки:

   $$5x = 6x + 42.$$

   Переносим все термины, содержащие $x$, в одну часть уравнения:

   $$5x - 6x = 42,$$ $$-x = 42.$$

   Умножаем обе части на $-1$:

   $$x = -42.$$

6. Проверка решения: Длина стороны не может быть отрицательной, значит, в процессе решения допущена ошибка.