Вершина Q параллелограмма MNQP лежит в плоскости альфа, а точки M,N,P не лежат в этой плоскости. Докажите, что прямые MN и NP пересекают плоскость альфа

Для доказательства того, что прямые $MN$ и $NP$ пересекают плоскость $\alpha$, рассмотрим следующую последовательность рассуждений:

1. Условия задачи:

   • Вершина $Q$ параллелограмма $MNQP$ лежит в плоскости $\alpha$.
   • Точки $M$, $N$, $P$ не лежат в плоскости $\alpha$.

   Из этого следует, что параллелограмм $MNQP$ расположен так, что его вершина $Q$ находится в $\alpha$, а остальные вершины $M$, $N$, $P$ находятся вне этой плоскости. При этом по определению параллелограмма:

   $$\overrightarrow{MQ} = \overrightarrow{NP}, \quad \overrightarrow{MN} = \overrightarrow{QP}.$$

2. Рассмотрим прямую $MN$:

   • Поскольку точки $M$ и $N$ не лежат в плоскости $\alpha$, то либо прямая $MN$ пересекает плоскость $\alpha$, либо она параллельна этой плоскости.
   • Однако если $MN$ параллельна $\alpha$, то $Q$, являясь противоположной вершиной параллелограмма, не может лежать в $\alpha$ (это нарушило бы геометрию параллелограмма). Следовательно, $MN$ пересекает $\alpha$.

3. Рассмотрим прямую $NP$:

   • Аналогично, поскольку точки $N$ и $P$ не лежат в $\alpha$, то $NP$ либо пересекает $\alpha$, либо параллельна $\alpha$.
   • Если бы $NP$ была параллельна $\alpha$, то точка $Q$, связанная с $NP$ через соотношение $\overrightarrow{MQ} = \overrightarrow{NP}$, не могла бы находиться в $\alpha$. Это снова противоречие.

4. Вывод:

   • Так как $Q$ лежит в плоскости $\alpha$, а $M$, $N$, $P$ не лежат в этой плоскости, линии $MN$ и $NP$ обязательно пересекают $\alpha$, чтобы геометрия параллелограмма сохранялась.

5. Итоговое доказательство: Оба прямые $MN$ и $NP$ пересекают плоскость $\alpha$, потому что в противном случае расположение вершины $Q$ в плоскости $\alpha$ было бы невозможно с учетом свойств параллелограмма.