Задача 12 Фигура верблюд ходит на три клетки по горизонтали (вправо или влево), а затем на одну клетку по вертикали (вверх или вниз). На каждой клетке доски 8×8 стоит по верблюду. Все они одновременно сделали один ход (при этом, возможно, в некоторых клетках оказалось более чем по одному верблюду). Какое наименьшее количество клеток при этом может оказаться пустыми?

Разбор задачи

В задаче описано движение фигуры "верблюд" на шахматной доске размером $8 \times 8$. Верблюд ходит на три клетки по горизонтали (вправо или влево) и одну клетку по вертикали (вверх или вниз). На доске изначально находится 64 верблюда, каждый из которых стоит на отдельной клетке. Все фигуры одновременно делают по одному ходу. Требуется определить минимальное количество клеток, которые окажутся пустыми после этого хода.

Шаг 1. Анализ движения верблюда

Ходы верблюда определяются его характеристиками: $\pm 3$ по горизонтали и $\pm 1$ по вертикали. Это значит, что из текущей позиции $(x, y)$ верблюд может переместиться в одну из четырёх возможных клеток:

• $(x+3, y+1)$,
• $(x+3, y-1)$,
• $(x-3, y+1)$,
• $(x-3, y-1)$.

Важно отметить, что ход должен оставаться внутри границ доски $8 \times 8$.

Шаг 2. Характеристика покрытия клеток

При анализе движения верблюда можно заметить, что он всегда перемещается на клетки с противоположным цветом. Это объясняется тем, что сумма координат $x + y$ меняется с чётного на нечётное (или наоборот). Таким образом:

• Если верблюд стартовал с белой клетки, он попадёт на чёрную, и наоборот.

Такое ограничение позволяет сделать вывод: фигуры, стартовавшие на клетках одного цвета (например, белых), покроют только клетки другого цвета (например, чёрных).

Шаг 3. Минимальное количество пустых клеток

Рассмотрим покрытие клеток:

• На доске $8 \times 8$ ровно половина клеток белые ($32$) и половина чёрные ($32$).
• Каждый верблюд, перемещаясь, "уходит" с клетки своего цвета на клетку другого цвета.
• Значит, на каждой клетке целевого цвета (например, чёрного) может оказаться сразу несколько верблюдов, а клетки исходного цвета (например, белые) становятся пустыми.

Таким образом, после первого хода ровно половина клеток ($32$) останется пустыми, так как каждый верблюд покроет клетку другого цвета.

Ответ

Минимальное количество пустых клеток — 32.