Дана прямоугольная трапеция abcd, угол A равен углу B и они равны 90 градусов, AB равно 10 см, угол CAD равен 45 градусов, CK высота ,AK:KD=1:2 Найдите среднюю линию трапеции.

Для решения задачи разберём геометрические свойства прямоугольной трапеции и воспользуемся данными условия.

1. Условия задачи

1. Прямоугольная трапеция $ABCD$, где углы $A$ и $B$ прямые ($90^\circ$).
2. $AB = 10$ см.
3. Угол $CAD = 45^\circ$.
4. Проведена высота $CK$.
5. Отношение $AK : KD = 1 : 2$.
6. Необходимо найти среднюю линию трапеции.

2. Распишем геометрические свойства

• Так как углы $A$ и $B$ прямые, $AB$ – высота трапеции.
• Верхнее основание $BC$ параллельно нижнему основанию $AD$.
• Средняя линия трапеции равна полусумме оснований:

где $EF$ – длина средней линии.

3. Определение длин оснований $BC$ и $AD$

Основание $AD$:

• $AK : KD = 1 : 2$ означает, что точка $K$ делит $AD$ в отношении $1:2$.
• Угол $CAD = 45^\circ$, поэтому треугольник $CAK$ – прямоугольный и равнобедренный ($CA = AK$).

Пусть $AK = x$, тогда $KD = 2x$, и $AD = AK + KD = x + 2x = 3x$.

Найдём $x$:

Высота $CK$ проведена из вершины $C$ к основанию $AD$. Так как треугольник $CAK$ равнобедренный, то $CK = AK = x$.

Теперь вернёмся к треугольнику $CAB$:

• В треугольнике $CAB$ угол $CAB = 45^\circ$.
• Противолежащий катет $AB = 10$ и прилежащий катет $AC = x$. Из свойства угла $45^\circ$ в прямоугольном треугольнике:

Значит, $x = 10$.

Основание $AD$:

Основание $BC$:

Поскольку трапеция прямоугольная, $BC = AB = 10$.

4. Средняя линия

Подставим найденные значения $BC = 10$ и $AD = 30$ в формулу средней линии:

Ответ:

Длина средней линии трапеции равна 20 см.