Дана прямоугольная трапеция, меньшее основание которой равно 4 см. Меньшая боковая сторона равна 12 см, а большая боковая сторона образует с основанием ∡45°.
Найди площадь трапеции.

Ответ: площадь трапеции равна

Для того чтобы найти площадь трапеции, нужно знать её основания и высоту. В этой задаче дано меньшее основание $b_1 = 4 \, \text{см}$, меньшее боковое $a_1 = 12 \, \text{см}$, а также угол между большим основанием и боковой стороной $\alpha = 45^\circ$.

1. Найдем длину большего основания. Обозначим большее основание трапеции как $b_2$. Из условия задачи известно, что большая боковая сторона образует угол $45^\circ$ с основанием. Мы можем представить большую боковую сторону как гипотенузу прямоугольного треугольника, в котором один из катетов — это высота трапеции (обозначим её $h$), а другой — разница между большим и меньшим основанием, то есть $b_2 - b_1$.

   Используем тригонометрию для нахождения высоты трапеции и разницы оснований. Так как угол $45^\circ$, то для боковой стороны:

   $$\sin(45^\circ) = \frac{h}{12}$$

   Так как $\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, то:

   $$\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{h}{12}$$

   Отсюда:

   $$h = 12 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 6\sqrt{2} \, \text{см}$$

2. Найдем разницу между основаниями. Теперь используем косинус угла $45^\circ$, чтобы найти разницу между основаниями. Из геометрии трапеции мы знаем, что эта разница — это проекция большой боковой стороны на основание:

   $$\cos(45^\circ) = \frac{b_2 - b_1}{12}$$

   Поскольку $\cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, то:

   $$\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{b_2 - 4}{12}$$

   Умножим обе стороны на 12:

   $$12 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = b_2 - 4$$ $$6\sqrt{2} = b_2 - 4$$ $$b_2 = 6\sqrt{2} + 4$$

   Приближенно $\sqrt{2} \approx 1.414$, поэтому:

   $$b_2 \approx 6 \cdot 1.414 + 4 = 8.484 + 4 = 12.484 \, \text{см}$$

3. Теперь найдем площадь трапеции. Площадь трапеции вычисляется по формуле:

   $$S = \frac{1}{2} \cdot (b_1 + b_2) \cdot h$$

   Подставляем значения:

   $$S = \frac{1}{2} \cdot (4 + 12.484) \cdot 6\sqrt{2}$$

   Сначала найдем сумму оснований:

   $$b_1 + b_2 = 4 + 12.484 = 16.484 \, \text{см}$$

   Площадь:

   $$S = \frac{1}{2} \cdot 16.484 \cdot 6\sqrt{2}$$