Доказать, что отрезок, соединяющий середины оснований трапеции, делит среднюю линию пополам.

Для того чтобы доказать, что отрезок, соединяющий середины оснований трапеции, делит среднюю линию пополам, давайте разберемся шаг за шагом.

1. Обозначения и описание трапеции: Пусть дана трапеция $ABCD$, где $AB$ и $CD$ — основания трапеции, а $AB \parallel CD$. Обозначим середины оснований $AB$ и $CD$ как точки $M$ и $N$, соответственно. Отрезок $MN$ соединяет эти середины.

2. Средняя линия трапеции: Средней линией трапеции называется отрезок, соединяющий середины боковых сторон. Пусть $P$ и $Q$ — середины боковых сторон $AD$ и $BC$, соответственно. Тогда отрезок $PQ$ будет средней линией трапеции.

3. Свойства средней линии: Из геометрии известно, что средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна полусумме длин оснований:

   $$PQ = \frac{AB + CD}{2}.$$

4. Свойства отрезка, соединяющего середины оснований: Отрезок $MN$, соединяющий середины оснований $AB$ и $CD$, также параллелен основаниям и имеет длину, равную разности длин оснований, деленной на 2:

   $$MN = \frac{AB - CD}{2}.$$

   Это утверждение вытекает из теоремы о средней линии трапеции, которая говорит, что отрезок, соединяющий середины оснований, равен половине разности длин оснований.

5. Доказательство, что отрезок $MN$ делит среднюю линию пополам: Теперь рассмотрим отрезок $PQ$ — среднюю линию трапеции. Мы знаем, что средняя линия параллельна основаниям и равна полусумме оснований:

   $$PQ = \frac{AB + CD}{2}.$$

   Так как отрезок $MN$ параллелен основаниям и соединяет середины оснований, то, по теореме о средней линии, отрезок $MN$ делит среднюю линию трапеции пополам. Это означает, что длина отрезка $MQ$ равна длине отрезка $NP$, то есть:

   $$MQ = NP.$$

6. Заключение: Мы доказали, что отрезок $MN$, соединяющий середины оснований трапеции, действительно делит среднюю линию пополам.